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Festigkeit

Durchbiegung und Spannung von Trägern, Spannungsberechnung, Knicksicherheit und Querschnittswerte.

Biegeträger – Durchbiegung & Spannung

4 Lastfälle, Einzellast oder Streckenlast

Lastfall

Kraft F [N]

Länge L [mm]

E-Modul [N/mm²] (Stahl 210000)

I [cm⁴] (IPE 200: 1943)

W [cm³] (IPE 200: 194)

σ_zul [N/mm²] (S235: 156)

max. Durchbiegung f–

max. Biegemoment M_b–

Biegespannung σ_b–

Ausnutzung σ_b/σ_zul–

Durchbiegeverhältnis L/f–

Richtwert Maschinenbau: f ≤ L/500 bis L/1000. Bei Streckenlast: q in N/mm eingeben (Gesamtlast = q·L).

Theorie

Durchbiegung und Moment je Lastfall:

Aufl. + Einzellast: f = F·L³48·E·I , M = F·L4

Aufl. + Streckenlast: f = 5·q·L⁴384·E·I , M = q·L²8

Krag + Einzellast: f = F·L³3·E·I , M = F·L

Krag + Streckenlast: f = q·L⁴8·E·I , M = q·L²2

Die Biegespannung folgt aus dem Widerstandsmoment:

σ_b = M_bW ≤ σ_zul

σ_zul = R_e/S, z. B. S235: 235/1,5 ≈ 156 N/mm².

Spannungen & Vergleichsspannung

Zug/Druck, Biegung, Torsion → von Mises

Normalkraft F [N]

Querschnitt A [mm²]

Biegemoment M_b [Nm]

W [cm³]

Torsionsmoment M_t [Nm]

W_p [cm³]

zul. Spannung σ_zul [N/mm²]

Zug-/Druckspannung σ_z–

Biegespannung σ_b–

Torsionsspannung τ_t–

Vergleichsspannung σ_v (GEH)–

Ausnutzung–

Theorie

Grundbeanspruchungen:

σ_z = FA · σ_b = M_bW · τ_t = M_tW_p

Bei kombinierter Beanspruchung wird nach der Gestaltänderungsenergiehypothese (GEH, von Mises) zusammengefasst:

σ_v = (σ_z+σ_b)² + 3·τ_t²

GEH gilt für zähe Werkstoffe (Stahl)
für spröde Werkstoffe: Normalspannungshypothese
Nachweis: σ_v ≤ σ_zul = R_e/S

Knickung nach Euler

kritische Knicklast schlanker Druckstäbe

Einspannfall (Eulerfall)

Stablänge L [mm]

Druckkraft F [N]

E-Modul [N/mm²]

I_min [cm⁴]

Querschnitt A [mm²] (für Schlankheitsgrad)

Knicklänge L_k–

Schlankheitsgrad λ–

kritische Knicklast F_k–

Knicksicherheit S = F_k/F–

Erforderlich im Maschinenbau: S ≥ 3–5. Euler gilt nur im elastischen Bereich (λ ≳ 105 bei S235) – darunter Tetmajer verwenden.

Theorie

Ein schlanker Druckstab weicht bei der kritischen Last seitlich aus:

F_k = π² · E · IL_k²

Die Knicklänge L_k hängt von der Lagerung ab (Eulerfälle 1–4). Der Schlankheitsgrad beurteilt die Gültigkeit:

λ = L_ki mit i = I / A

λ ≥ ca. 105 (S235): elastische Knickung → Euler
λ < 105: unelastischer Bereich → Tetmajer-Geraden
λ < 60: reiner Druckspannungsnachweis

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Querschnittswerte I und W

Rechteck, Kreis, Rohr, Rechteckrohr

Querschnittsform

Breite b [mm]

Höhe h [mm]

Fläche A–

Flächenträgheitsmoment I–

Widerstandsmoment W–

Biegung um die horizontale Achse (Höhe h bzw. Durchmesser wirksam).

Theorie

Das Flächenträgheitsmoment I beschreibt die Biegesteifigkeit, das Widerstandsmoment W = I/z_max die Beanspruchbarkeit des Querschnitts:

Rechteck: I = b·h³12 , W = b·h²6

Kreis: I = π·d⁴64 , W = π·d³32

Rohr: I = π·(D⁴−d⁴)64 , W = 2·ID

Material weit weg von der Achse wirkt am stärksten (h³!)
deshalb sind I-Profile und Rohre so effizient

Überschlägige Berechnung – ersetzt keine normgerechte Nachweisführung (z. B. Eurocode 3).